Cantidades físicas: cantidades escalares y vectoriales
Para algunas cantidades físicas tales como el desplazamiento,
la velocidad y la fuerza, la dirección y el sentido son tan importantes
como la magnitud, por lo que es necesario distinguir entre cantidades
escalares y cantidades vectoriales.
CANTIDADES ESCALARES
Son aquellas que sólo requieren para su determinación una magnitud.
Ejemplo. masa, potencia, energía
CANTIDADES VECTORIALES
Son aquellas que necesitan, para ser determinadas, de una magnitud, una dirección y un sentido.
Ejemplo. desplazamiento, velocidad, fuerza, etc.
Las cantidades vectoriales se representan gráficamente mediante una flecha llamada vector.
Un vector es un segmento de recta dirigido que posee un punto de origen,
cabeza o flecha (sentido), dirección (ángulo de inclinación respecto de
la horizontal) y metrización (valor numérico).
Representación de los vectores
Podemos representar los vectores de las siguientes maneras:
1. En función de su módulo y ángulo
Está
representado por las coordenadas (r; θ), donde r es el módulo y θ es el
ángulo medido desde el eje positivo x hasta donde llega el vector.
Llamadas también coordenadas polares.
2. Coordenadas rectangulares
Un vector puede descomponerse en “x” y “y”, donde cada componente recibe el nombre de coordenada rectangulares. Y en muchas veces se expresa en función de los vectores base. “i” y “j”
3. Coordenadas geográficas
Está
definido por el par ordenado (r; rumbo), donde r representa el módulo
del vector, y rumbo la dirección del mismo, tomando en cuenta los puntos
cardinales.
4. En función de su módulo y unitario
Todo vector es igual al producto del módulo del mismo vector por su unitario
Multiplicación de un vector por un escalar
El producto de un escalar por un vector da por resultado
otro vector, con la misma dirección que el primero. Al hacer
la
multiplicación, el escalar cambia el módulo del
vector
(gráficamente el largo) y en caso de ser negativo cambia
también el sentido. La dirección del vector
resultado es
siempre la misma que la del vector original.
Matemáticamente se realiza multiplicando al escalar por cada
una de las componentes del vector.
Si por ejemplo el vector V tiene 2 coordenadas:
V = (x, y)
k V = k (x, y) = (kx, ky)
Ejemplo:
V = (2,1)
k = 2
k V = 2 (2, 1) = (4, 2)
Ejemplo:
V= (2, 2)
k = -1
k V = -1 (2, 2) = (-2, -2)
Si los vectores son de más de dos coordenadas se realiza lo
mismo por cada una de ellas.
Operaciones entre vectores:
1) Método gráfico del paralelogramo
Las cantidades
vectoriales no se suman tan simple como las escalares. Así
por ejemplo, una velocidad de 2 Km/h sumada con otra velocidad
de 3 Km/h, no necesariamente da como resultado 5 Km/h.
Para sumar
vectores se emplean diferentes métodos: el método
del paralelogramo, el método del polígono
y el método de las componentes
rectangulares. A continuación trataremos el método
del paralelogramo:
Este método
es una alternativa al método del triángulo.
En este método, se desplazan los vectores para unir
sus "colas". Luego se completa el paralelogramo
y el vector resultante será la diagonal trazada desde
las "colas" de los vectores a sumar. Este vector
tendrá también la "cola" unida a las
colas de los otros dos y su "cabeza" estará
al final de la diagonal.
Ejemplo:
Los vectores
a y b tienen magnitudes
iguales a 6.0 y 7.0 unidades (u). Si forman un ángulo
de 30º , calcular la magnitud y dirección del
vector resultante (vector suma) s.
Solución:
Para
calcular la resultante s, con ayuda del juego geométrico trazamos, en la cabeza del vector a, la paralela del vector b, y en la cabeza del vector b, la paralela del vector a. Trazamos la resultante desde el punto de origen de ambos vectores hasta el punto de union de sus paralelas.
Para determinar la magnitud y dirección del vector suma s, medimos con la regla el largo de la resultante y con ayuda del graduador, medimos su ángulo.
S = 13u ; 13°
2) Método gráfico del polígono
Cuando
vamos a sumar más de dos vectores, podemos sumar dos
de ellos por el método del paralelogramo. Luego
el vector resultante sumarlo con otro vector también
por el método del paralelogramo, y así sucesivamente
hasta llegar a obtener la resultante final.
Otra forma
de hacer la suma, es utilizando el llamado método
del polígono. Este método es simplemente la
extensión del método del triángulo. Es
decir, se van desplazando los vectores para colocarlos la
"cabeza" del uno con la "cola" del otro
(un "trencito") y la resultante final es el vector
que cierra el polígono desde la "cola" que
quedó libre hasta la "cabeza" que quedó también
libre (cerrar con un "choque de cabezas").
Nuevamente
el orden en que se realice la suma no interesa, pues aunque
el polígno resultante tiene forma diferente en cada
caso, la resultante final conserva su magnitud, su dirección
y su sentido.
Este método
sólo es eficiente desde punto de vista gráfico,
y no como un método analítico.
3) Método analítico de las componentes en 2D.
Sabemos, de la suma de vectores, que todo vector puede descomponerse como la suma de otros dos vectores llamados las componentes vectoriales del vector original. Para sumarlos, lo usual es escoger las componentes sumando a lo largo de dos drecciones perpendiculares entre sí.
Ejemplo Suma Vectores: suponga un vector V
cualquiera
Trazamos ejes coordenados x y con origen
en la cola del vector V. Se trazan perpendiculares desde la punta del vector
V a los ejes x y y determinándose sobre el eje x la componente vectorial Vx y sobre
el eje y la componente vectorial Vy.
Notemos que V = Vx + Vy
de acuerdo al método del paralelógramo.
Las magnitudes de Vx y Vy,
o sea Vx y Vy, se llaman componentes y son números,
positivos o negativos según si apuntan hacia el lado positivo o negativo de
los ejes x y y.
Vectores unitarios
Los vectores unitarios tienen de módulo la unidad.
Normalizar un vector
Normalizar un vector consite en obtener otro vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado.
Para normalizar un vector se divide éste por su módulo.
Ejemplo:
Si 
es un vector de componentes (3, 4), hallar un vector unitario de su misma dirección y sentido.
Vectores en tres dimensiones
Un sistema de coordenadas tridimensionales se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X y Y.
Cada punto viene determinado por tres coordenadas P( x, y, z).
Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ, y YZ. Estos planos coordenados dividen al espacio en 8 regiones llamadas octantes, en el primer octante las tres coordenadas son positivas.
Vector en el espacio
Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.
Componentes de un vector en el espacio
Si las coordenadas de Ay B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2), las coordenadas del vector 
son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.
Módulo de un vector
El módulo de un vector es la magnitud del segmento orietado que lo define.
El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene como módulo 0
Cálculo del módulo conociendo sus componentes:
Dados los vectores 
y 
, hallar los módulos de 
y 
·
Operaciones entre vectores:
1) Método analítico de las componentes en 3D.
Suma y resta de vectores
Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.
U = ( 3i + 4j + 5k ) B = ( 6i + 7j + 9k )
U + B = [ (3+6)i ; (4+7)j ; (5+9)k ]
U + B = ( 9i + 11j + 14k )
Para restar hacemos un proceso similar al de la suma
U = ( 3i + 4j + 5k ) B = ( 6i + 7j + 9k )
U - B = [ (3-6)i ; (4-7)j ; (5-9)k ]
U - B = ( -3i - 3j - 4k )
Ejemplos:
Dados A = (2, 1, 3), B = (1, −1, 0), C = (1, 2, 3), hallar el vector X = 2u + 3v − w.
X= (4, 2, 6) + (3, −3, 0) − (1, 2, 3) = (6, −3, 3)
Dados los vectores 
y 
, hallar el módulo del vector 
.
2) Método analítico de la ley del seno y coseno.
La ley del coseno se utiliza para encontrar el módulo de la resultante de 2 vectores.
_____________________
R = √ A² + B² + 2 . A . B . cos θ
La ley del seno se utiliza para encontrar la dirección de la resultante de 2 vectores.
__B__ = __R__
sen x sen θ
Producto punto
El producto punto o producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.
Expresión analítica del producto punto
Ejemplo
Hallar el producto punto de dos vectores cuyas coordenadas en una base ortonormal son: (1, 1/2, 3) y (4, −4, 1).
(1, 1/2, 3) · (4, −4, 1) = 1 · 4 + (1/2) · (−4) + 3 · 1 = 4 −2 + 3 = 5
Propiedades del producto punto
1Conmutativa
Producto cruz
El producto cruz o producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v. Su módulo es igual a:
El producto cruz se puede expresar mediante un determinante:
Ejemplos
Calcular el producto cruz de los vectores 
= (1, 2, 3) y 
= (−1, 1, 2).
es otro vector:
) = k · 
