Física: Unidad #2

Cantidades físicas: cantidades escalares y vectoriales

Para algunas cantidades físicas tales como el desplazamiento, la velocidad y la fuerza, la dirección y el sentido son tan importantes como la magnitud, por lo que es necesario distinguir entre cantidades escalares y cantidades vectoriales.

CANTIDADES ESCALARES
Son aquellas que sólo requieren para su determinación una magnitud.
Ejemplo. masa, potencia, energía

CANTIDADES VECTORIALES
Son aquellas que necesitan, para ser determinadas, de una magnitud, una dirección y un sentido.
Ejemplo. desplazamiento, velocidad, fuerza, etc.
Las cantidades vectoriales se representan gráficamente mediante una flecha llamada vector.
Un vector es un segmento de recta dirigido que posee un punto de origen, cabeza o flecha (sentido), dirección (ángulo de inclinación respecto de la horizontal) y metrización (valor numérico).

Representación de los vectores

Podemos representar los vectores de las siguientes maneras:

1. En función de su módulo y ángulo
Está representado por las coordenadas (r; θ), donde r es el módulo y θ es el ángulo medido desde el eje positivo x hasta donde llega el vector. Llamadas también coordenadas polares.

2. Coordenadas rectangulares
Un vector puede descomponerse en “x” y “y”, donde cada componente recibe el nombre de coordenada rectangulares. Y en muchas veces se expresa en función de los vectores base. “i” y “j”

3. Coordenadas geográficas
Está definido por el par ordenado (r; rumbo), donde r representa el módulo del vector, y rumbo la dirección del mismo, tomando en cuenta los puntos cardinales.

4. En función de su módulo y unitario
Todo vector es igual al producto del módulo del mismo vector por su unitario

Multiplicación de un vector por un escalar

El producto de un escalar por un vector da por resultado otro vector, con la misma dirección que el primero. Al hacer la multiplicación, el escalar cambia el módulo del vector (gráficamente el largo) y en caso de ser negativo cambia también el sentido. La dirección del vector resultado es siempre la misma que la del vector original.

Matemáticamente se realiza multiplicando al escalar por cada una de las componentes del vector.

Si por ejemplo el vector V tiene 2 coordenadas:

V = (x, y)
k V = k (x, y) = (kx, ky)

Ejemplo:

V = (2,1)
k = 2
k V = 2 (2, 1) = (4, 2)

Ejemplo:

V= (2, 2)
k = -1
k V = -1 (2, 2) = (-2, -2)

Producto de un vector por un escalar

Si los vectores son de más de dos coordenadas se realiza lo mismo por cada una de ellas.

Operaciones entre vectores:

1) Método gráfico del paralelogramo

Las cantidades vectoriales no se suman tan simple como las escalares. Así por ejemplo, una velocidad de 2 Km/h sumada con otra velocidad de 3 Km/h, no necesariamente da como resultado 5 Km/h.

Para sumar vectores se emplean diferentes métodos: el método del paralelogramo, el método del polígono y el método de las componentes rectangulares. A continuación trataremos el método del paralelogramo:

Este método es una alternativa al método del triángulo. En este método, se desplazan los vectores para unir sus "colas". Luego se completa el paralelogramo y el vector resultante será la diagonal trazada desde las "colas" de los vectores a sumar. Este vector tendrá también la "cola" unida a las colas de los otros dos y su "cabeza" estará al final de la diagonal.

Ejemplo:

Los vectores a y b tienen magnitudes iguales a 6.0 y 7.0 unidades (u). Si forman un ángulo de 30º , calcular la magnitud y dirección del vector resultante (vector suma) s.

Solución:

Para calcular la resultante s, con ayuda del juego geométrico trazamos, en la cabeza del vector a, la paralela del vector b, y en la cabeza del vector b, la paralela del vector a. Trazamos la resultante desde el punto de origen de ambos vectores hasta el punto de union de sus paralelas.

Para determinar la magnitud y dirección del vector suma s, medimos con la regla el largo de la resultante y con ayuda del graduador, medimos su ángulo.

S = 13u ; 13°

2) Método gráfico del polígono

Cuando vamos a sumar más de dos vectores, podemos sumar dos de ellos por el método del paralelogramo. Luego el vector resultante sumarlo con otro vector también por el método del paralelogramo, y así sucesivamente hasta llegar a obtener la resultante final.

Otra forma de hacer la suma, es utilizando el llamado método del polígono. Este método es simplemente la extensión del método del triángulo. Es decir, se van desplazando los vectores para colocarlos la "cabeza" del uno con la "cola" del otro (un "trencito") y la resultante final es el vector que cierra el polígono desde la "cola" que quedó libre hasta la "cabeza" que quedó también libre (cerrar con un "choque de cabezas").

Nuevamente el orden en que se realice la suma no interesa, pues aunque el polígno resultante tiene forma diferente en cada caso, la resultante final conserva su magnitud, su dirección y su sentido.

Este método sólo es eficiente desde punto de vista gráfico, y no como un método analítico.

3) Método analítico de las componentes en 2D.

Sabemos, de la suma de vectores, que todo vector puede descomponerse como la suma de otros dos vectores llamados las componentes vectoriales del vector original. Para sumarlos, lo usual es escoger las componentes sumando a lo largo de dos drecciones perpendiculares entre sí.

Ejemplo Suma Vectores: suponga un vector V cualquiera

Trazamos ejes coordenados x y con origen en la cola del vector V. Se trazan perpendiculares desde la punta del vector V a los ejes x y y determinándose sobre el eje x la componente vectorial V_x y sobre el eje y la componente vectorial V_y.

Notemos que V = V_x + V_y de acuerdo al método del paralelógramo.

Las magnitudes de V_x y V_y, o sea V_x y V_y, se llaman componentes y son números, positivos o negativos según si apuntan hacia el lado positivo o negativo de los ejes x y y.

Vectores unitarios

Los vectores unitarios tienen de módulo la unidad.

Normalizar un vector

Normalizar un vector consite en obtener otro vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado.

Para normalizar un vector se divide éste por su módulo.

Ejemplo: Si

es un vector de componentes (3, 4), hallar un vector unitario de su misma dirección y sentido.

Vectores en tres dimensiones

Un sistema de coordenadas tridimensionales se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X y Y.

Cada punto viene determinado por tres coordenadas P( x, y, z).

Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ, y YZ. Estos planos coordenados dividen al espacio en 8 regiones llamadas octantes, en el primer octante las tres coordenadas son positivas.

Vector en el espacio

Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.

Componentes de un vector en el espacio

Si las coordenadas de Ay B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2), las coordenadas del vector

son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

Módulo de un vector

El módulo de un vector es la magnitud del segmento orietado que lo define.

El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene como módulo 0

Cálculo del módulo conociendo sus componentes:

Dados los vectores

, hallar los módulos de

Operaciones entre vectores:

1) Método analítico de las componentes en 3D.

Suma y resta de vectores

Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

U = ( 3i + 4j + 5k ) B = ( 6i + 7j + 9k )

U + B = [ (3+6)i ; (4+7)j ; (5+9)k ]

U + B = ( 9i + 11j + 14k )

Para restar hacemos un proceso similar al de la suma

U = ( 3i + 4j + 5k ) B = ( 6i + 7j + 9k )

U - B = [ (3-6)i ; (4-7)j ; (5-9)k ]

U - B = ( -3i - 3j - 4k )

Ejemplos:

Dados A = (2, 1, 3), B = (1, −1, 0), C = (1, 2, 3), hallar el vector X = 2u + 3v − w.

X= (4, 2, 6) + (3, −3, 0) − (1, 2, 3) = (6, −3, 3)

Dados los vectores

, hallar el módulo del vector

2) Método analítico de la ley del seno y coseno.

La ley del coseno se utiliza para encontrar el módulo de la resultante de 2 vectores.
_____________________
R = √ A² + B² + 2 . A . B . cos θ

La ley del seno se utiliza para encontrar la dirección de la resultante de 2 vectores.

__B__ = __R__
sen x sen θ

Producto punto

El producto punto o producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

Expresión analítica del producto punto

Ejemplo

Hallar el producto punto de dos vectores cuyas coordenadas en una base ortonormal son: (1, 1/2, 3) y (4, −4, 1).

(1, 1/2, 3) · (4, −4, 1) = 1 · 4 + (1/2) · (−4) + 3 · 1 = 4 −2 + 3 = 5

Propiedades del producto punto

1Conmutativa

2 Asociativa

3 Distributiva

Producto cruz

El producto cruz o producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v. Su módulo es igual a: